Calcul différentiel et intégral

Code UE : USCN5U-GET

  • Cours
  • 2 crédits

Responsable(s)

Jean-Sebastien VILLEFORT

Valérie DARDINIER

Objectifs pédagogiques

Maîtriser des outils mathématiques fondamentaux en rappelant ou donnant les bases requises.

Compétences visées

Etre capable de réinvestir ses connaissances mathématiques dans d'autres domaines scientifiques et techniques.

Séries numériques
Définitions et exemples (série géométrique), convergence absolue, critères de convergence pour séries à termes positifs (règle de D'Alembert, règle de Cauchy, etc), critères de convergence pour séries à termes quelconques (série alternées, règle d'Abel, etc).
 
Représentation des fonctions
Séries entières, disque de convergence, fonctions analytiques, développement en série entière des fonctions usuelles, application à la résolution de certaines équations différentielles.
Fonctions périodiques, séries trigonométriques, coefficients de Fourier, séries de Fourier, théorème de Jordan-Dirichlet, formule de Bessel-Parseval.
 
Transformation de Fourier
Espaces L^1 et L^2, transformée de Fourier, transformation de Fourier inverse, propriétés de la transformée de Fourier (Dilatation, Retard, Translation, Symétrie), transformée de Fourier et dérivation, formule de Bessel-Parseval, convolution.
 
Résolution de systèmes différentiels
Résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants par la transformation de Laplace ou en utilisant la notion d'exponentielle de matrice.
 
Algèbre bilinéaire
Espaces euclidiens, applications orthogonales, bases orthonormées, projections orthogonales.
Réduction des opérateurs symétriques.
 
Intégrales multiples
Définition et calcul des intégrales multiples, changement de variables, matrice jacobienne, coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
 
Dimension 1
Courbes paramétrées, intégrales curvilignes.
Champ de vecteurs, circulation le long d'une courbe paramétrée.
Champ de gradient, potentiel scalaire, première caractérisation d'un champ de gradient.
 
Dimension 2
Surface paramétrée, intégrales de surface, aire d'une surface.
Flux d'un champ de vecteurs à travers une surface paramétrée.
Champ de rotationnel, potentiel vecteur, première caractérisation d'un champ de rotationnel.
Formule de Stokes, deuxième caractérisation d'un champ de gradient.
 
Dimension 3
Divergence d'un champ de vecteurs.
Formule d'Ostrogradski, application au calcul des volumes, deuxième caractérisation d'un champ de rotationnels.

- Contrôle continu (50%)
- Examen (50%)

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